Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Arithmetisches Mittel einer Datenreihe: | |
Beispiel: | |
Bestimmen Sie aus der Liste einer Schülerbefragung die durchschnittliche
Körpergröße aller befragten Schüler. |
Weitere Beispiele für Mittelwerte:
Durchschnittsabiturnote: 1,8
Durchschnittsgewicht aller Schüler einer Klasse: 62,3 kg
Der Median (Zentralwert einer Datenreihe) | |
Der Median xMed ist derjenige Wert (Merkmalsausprägung), der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte xi der Größe nach geordnet sind. |
Wir ordnen alle Werte aus unserem Beispiel der Größe nach und bestimmen
die Mitte.
Wie verändern sich Mittelwert und Median, wenn der größte Schüler die
Klasse verlässt und für ihn eine kleine Schülerin mit der Körpergröße
150 dazu kommt?
Wie verändert sich der Median, wenn ein Schüler mit der Körpergröße 180
dazu kommt?
Allgemeine Rechenvorschrift zur Berechnung des Medians: | |
Vorbetrachtungen zur Varianz. Wir betrachten wieder unser Anfangsbeispiel mit dem Mittelwert 167,6 und bilden die Summe der Abweichungen von diesem.
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Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung um den Mittelwert.
Bei Merkmalsausprägungen wie z.B. "rot, blau, grün", also bei nominal
skalierten Größen kann kein arithmetisches Mittel berechnet werden.
Hier lässt sich lediglich die Frage nach der Merkmalsausprägung mit der
größten Häufigkeit stellen.
Beispiel: | |
Die Fremdsprache englisch kommt mit der größten Häufigkeit vor (84 mal) Somit ist der Modalwert xMod = englisch. |
Modalwert | Der Modalwert xMod ist der Merkmalswert, der am häufigsten vorkommt. |
Bemerkung zum Modalwert:
Gibt es mehrere Merkmalsausprägungen mit der gleichen maximalen
Häufigkeit,
so existiert kein Modalwert.
Bei einer Klasseneinteilung ist der Modalwert die Mitte der am
dichtesten besetzten Klasse.
Die Verwendung des Modus ist bei jedem Skalenniveau möglich.
Beispiel: | |
Ein Bautrupp mit 9 Personen hat folgende monatliche Einkünfte in Euro. |
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Dieser Durchschnitt liefert ein falsches Bild, weil die Mehrzahl (7 von 9
Personen) höchstens 1200 € verdient. Der Wert 6600 € zieht den Mittelwert nach oben. Man sucht nach einem Wert, der die Verteilung der Einkünfte besser charakterisiert. Dazu werden die Verdienste der Größe nach sortiert. |
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Der Median beschreibt die Verteilung besser als der Mittelwert.
Man nennt ihn auch Zentralwert.
Ausreißer haben auf den Median keinen Einfluss.
Berechnung des Medians.
Beispiel 1: | |
Die Anzahl n der Merkmalsausprägungen ist ungerade, z.B. das Alter von 7
Mathematiklehrern ( n = 7 ) |
In der Tabelle stehen links und rechts neben dem Median gleich viele Werte.
Beispiel 2: | |
Die Anzahl der Merkmalsausprägungen ist gerade, z.B. das Alter von 8
Mathematiklehrern ( n = 8 ) |
Bei einer geraden Anzahl von Werten ( n = 8 ) berechnet man den Median aus den beiden mittleren Werten.
Bemerkungen zum Median.
Falls das betrachtete Merkmal nur ordinal skaliert ist (z.B.
Zeugnisnoten), so ist bei geradem n zu beachten dass der Median nur dann
existiert, wenn beide infrage kommenden Merkmalsausprägungen gleich
sind.
Z.B. bei den Zeugnisnoten 1 2 3 4 5 6 existiert
kein Median, denn 3,5 als Zeugnisnote ist nicht üblich.
Aber: 1 2 3 3 4 5 hat den Median 3.
Für den Fall, dass metrische Daten in Klassen gruppiert vorliegen, kann
die exakte Mrkmalsausprägung des Medians nicht bestimmt werden.
Berechnung des arithmetischen Mittels aus einer Häufigkeitstabelle | |
Beispiel: | |
Das Ergebnis einer Vergleichsarbeit ist untenstehender Tabelle zu
entnehmen. Berechnen Sie den Notendurchschnitt. Häufigkeitstabelle |
Berechnung des Mittelwertes bei klassierten Daten | |
Beispiel: | |
Bestimmen Sie aus der klassierten Häufigkeitstabelle für das
Körpergewicht den arithmetischen Mittelwert.
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Der Häufigkeit wird die Klassenmitte zugeordnet. Man geht davon aus, dass alle 10 Schüler der Klasse x2 das Körpergewicht 65,5 kg haben. |
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Vergleich von Lagemaßen anhand eines Säulendiagramms:
Die Noten werden in diesem Beispiel metrisch skaliert, dh. es soll auch
Zwischennoten geben.
Häufigkeitstabelle
Lagemaße im Säulendiagramm eingezeichnet:
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Lagemaße in der beschreibenden Statistik Puzzle: Lagemaße in der beschreibenden Statistik |
Zur Bestimmung des Medians müssen die Daten (Merkmalsausprägungen)
geordnet werden.
Das kann mühsam sein.
Eine Erleichterung bietet hier das Stängel - Blatt - Diagramm.
Beispiel: | |
Die Daten einer Urliste lauten: |
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Die Daten werden im Stängel - Blatt - Diagramm geordnet. |
Die Daten werden nach den Stängeln (Zehnerzahlen) geordnet.
Zu jedem Stängel werden dann die Blätter (Einerzahlen) der Größe nach
hinzugeschrieben.
Die meisten Daten liegen im 2. Stängel.
Der Wert der größten Häufigkeit (Modalwert) ist xMod = 60
An der 14. Stelle steht der Median xMed = 63
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